埼玉大学
2016年 工学部 第4問
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![四面体OABCにおいて,ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとし,頂点Oから△ABCを含む平面に下ろした垂線の足をHとする.また,四面体OABCは|ベクトルa|=|ベクトルb|=|ベクトルc|=1,∠AOB=∠BOC=π/3を満たすものとし,∠AOC=θ(0<θ<2/3π)とする.次の問いに答えよ.(1)内積ベクトルBA・ベクトルBCを求めよ.(2)△ABCの面積を求めよ.(3)ベクトルOH=sベクトルa+tベクトルb+uベクトルcを満たすs,t,uを求めよ.(4)|ベクトルOH|を求めよ.(5)0<θ<2/3πのとき,四面体OABCの体積の最大値を求めよ.](./thumb/118/1352/2016_4.png)
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四面体$\mathrm{OABC}$において,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし,頂点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする.また,四面体$\mathrm{OABC}$は
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=1,\quad \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
を満たすものとし,$\angle \mathrm{AOC}=\theta \ \ \left( 0<\theta<\displaystyle\frac{2}{3} \pi \right)$とする.次の問いに答えよ.
(1) 内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を求めよ.
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$を満たす$s,\ t,\ u$を求めよ.
(4) $|\overrightarrow{\mathrm{OH|}}$を求めよ.
(5) $\displaystyle 0<\theta<\frac{2}{3}\pi$のとき,四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ.
(1) 内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を求めよ.
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$を満たす$s,\ t,\ u$を求めよ.
(4) $|\overrightarrow{\mathrm{OH|}}$を求めよ.
(5) $\displaystyle 0<\theta<\frac{2}{3}\pi$のとき,四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ.
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