信州大学
2014年 理学部 第5問
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関数$f(x)$は,$f^{\prime\prime}(x)<0$をみたすとする.$t \geqq 0$のとき,次の$(1)$,$(2)$の不等式が成り立つことを示せ.
(1) $f(0)+f^\prime(t)t \leqq f(t) \leqq f(0)+f^\prime(0)t$
(2) $\displaystyle \frac{f(0)t+f(t)t}{2} \leqq \int_0^t f(u) \, du \leqq f(0)t+\frac{f^\prime(0)}{2}t^2$
(1) $f(0)+f^\prime(t)t \leqq f(t) \leqq f(0)+f^\prime(0)t$
(2) $\displaystyle \frac{f(0)t+f(t)t}{2} \leqq \int_0^t f(u) \, du \leqq f(0)t+\frac{f^\prime(0)}{2}t^2$
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