島根大学
2013年 総合理工(数理・情報システム以外) 第2問
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円周上に異なる$n$個の点があり,どの$2$点も線分で結ばれている.ここで$n$は$4$以上の自然数とする.同様の確からしさで異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき,その$2$本が円の内部で交わっている確率を考える.たとえば,$n=4$のときは,線分が$6$本,異なる$2$本の線分の組が$15$組,そのうち円の内部で交わるものは$1$組で,円の内部で交わっている確率は$\displaystyle \frac{1}{15}$となる.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $n=5$のとき,線分の数,異なる$2$本の線分の組の数,そのうち円の内部で交わっている組の数をそれぞれ求めよ.また,異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき,その$2$本が円の内部で交わっている確率を求めよ.
(2) 一般に,異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき,その$2$本が円の内部で交わっている確率を$n$を用いて表せ.
(1) $n=5$のとき,線分の数,異なる$2$本の線分の組の数,そのうち円の内部で交わっている組の数をそれぞれ求めよ.また,異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき,その$2$本が円の内部で交わっている確率を求めよ.
(2) 一般に,異なる$2$本の線分を$1$組選ぶとき,その$2$本が円の内部で交わっている確率を$n$を用いて表せ.
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