滋賀医科大学
2014年 医学部 第2問
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![OA=BC,OB=CA,OC=ABである四面体OABCを考える.ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとする.ベクトルa,ベクトルb,ベクトルcは,ベクトルベクトルx,ベクトルy,ベクトルzを用いてベクトルa=ベクトルy+ベクトルz,ベクトルb=ベクトルz+ベクトルx,ベクトルc=ベクトルx+ベクトルyと表されている.(1)ベクトルx,ベクトルy,ベクトルzをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ.(2)内積ベクトルx・ベクトルy,ベクトルy・ベクトルz,ベクトルz・ベクトルxを求めよ.(3)点Pが4点O,A,B,Cから等距離にあるとき,ベクトルOPをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ.さらに長さOPをOA,OB,OCを用いて表せ.(4)点O,A,Bの座標がそれぞれ(0,0,0),(0,2,2),(0,3,0)であるとき,点Cの座標をすべて求めよ.](./thumb/465/1258/2014_2.png)
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$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}$,$\mathrm{OB}=\mathrm{CA}$,$\mathrm{OC}=\mathrm{AB}$である四面体$\mathrm{OABC}$を考える.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする.$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$は,ベクトル$\overrightarrow{x}$,$\overrightarrow{y}$,$\overrightarrow{z}$を用いて$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{z}+\overrightarrow{x}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}$と表されている.
(1) $\overrightarrow{x}$,$\overrightarrow{y}$,$\overrightarrow{z}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) 内積$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{y}$,$\overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{z}$,$\overrightarrow{z} \cdot \overrightarrow{x}$を求めよ.
(3) 点$\mathrm{P}$が$4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$から等距離にあるとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.さらに長さ$\mathrm{OP}$を$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$,$\mathrm{OC}$を用いて表せ.
(4) 点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の座標がそれぞれ$(0,\ 0,\ 0)$,$(0,\ 2,\ 2)$,$(0,\ 3,\ 0)$であるとき,点$\mathrm{C}$の座標をすべて求めよ.
(1) $\overrightarrow{x}$,$\overrightarrow{y}$,$\overrightarrow{z}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) 内積$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{y}$,$\overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{z}$,$\overrightarrow{z} \cdot \overrightarrow{x}$を求めよ.
(3) 点$\mathrm{P}$が$4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$から等距離にあるとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.さらに長さ$\mathrm{OP}$を$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$,$\mathrm{OC}$を用いて表せ.
(4) 点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の座標がそれぞれ$(0,\ 0,\ 0)$,$(0,\ 2,\ 2)$,$(0,\ 3,\ 0)$であるとき,点$\mathrm{C}$の座標をすべて求めよ.
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