次の初項と漸化式で定まる数列$\{a_n\}$を考える． \[ a_1=\frac{1}{2},\ a_{n+1}=e^{-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] ここで，$e$は自然対数の底で，$1<e<3$である．このとき，次の問いに答えなさい．
(1) すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{1}{3}<a_n<1$が成り立つことを示しなさい．
(2) 方程式$x=e^{-x}$はただ1つの実数解をもつことと，その解は$\displaystyle \frac{1}{3}$と1の間にあることを示しなさい．
(3) 関数$f(x)=e^{-x}$に平均値の定理を用いることによって，次の不等式が成り立つことを示しなさい． \begin{align} \frac{1}{3} \text{と1との間の任意の実数}x_1,\ x_2 \text{について，} \nonumber \\ |f(x_2)-f(x_1)| \leqq e^{-\frac{1}{3}} |x_2-x_1| \nonumber \end{align}
(4) 数列$\{a_n\}$は，方程式$x=e^{-x}$の実数解に収束することを示しなさい．