$A,\ A^\prime$をそれぞれ座標平面上の点$(\alpha \cos \theta,\ \alpha \sin \theta)$，$(-\alpha \cos \theta,\ -\alpha \sin \theta)$とし，$f$を行列 \[ \biggl( \begin{array}{cc} r \cos \theta & -r \sin \theta \\ r \sin \theta & r \cos \theta \end{array} \biggr) \] の表す1次変換とする．$\displaystyle \alpha= \left( \frac{45}{4} \right)^{\frac{1}{6}},\ r=\left( \frac{10}{3} \right)^{\frac{1}{6}},\ \theta=\frac{\pi}{6}$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1) 2点A，A$^{\prime}$の逆変換$f^{-1}$による像を焦点とし，焦点からの距離の差が2に等しい双曲線$C_1$の方程式を求めなさい．
(2) 2点A，A$^\prime$の合成関数$f \circ f$による像を焦点とし，直線$x+2y=0$を漸近線にもつ双曲線$C_2$の方程式を求めなさい．
(3) 双曲線$C_1$と$C_2$により囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めなさい．