山口大学
2014年 工・理・教育 第3問
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$a,\ b$を実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a
\end{array} \right)$について，次の問いに答えなさい．
(1) すべての自然数$n$に対して， \[ A^n=\left( \begin{array}{cc} a_n & b_n \\ b_n & a_n \end{array} \right) \] となる実数$a_n,\ b_n$があることを数学的帰納法で示し，$a_n$，$b_n$を用いて$a_{n+1}$，$b_{n+1}$を表しなさい．
(2) $c_n=a_n+b_n$，$d_n=a_n-b_n$とおく．数列$\{c_n\}$の漸化式と数列$\{d_n\}$の漸化式をそれぞれ求め，$a,\ b,\ n$を用いて$c_n,\ d_n$を表しなさい．
(3) $a,\ b,\ n$を用いて$a_n,\ b_n$を表しなさい．
(1) すべての自然数$n$に対して， \[ A^n=\left( \begin{array}{cc} a_n & b_n \\ b_n & a_n \end{array} \right) \] となる実数$a_n,\ b_n$があることを数学的帰納法で示し，$a_n$，$b_n$を用いて$a_{n+1}$，$b_{n+1}$を表しなさい．
(2) $c_n=a_n+b_n$，$d_n=a_n-b_n$とおく．数列$\{c_n\}$の漸化式と数列$\{d_n\}$の漸化式をそれぞれ求め，$a,\ b,\ n$を用いて$c_n,\ d_n$を表しなさい．
(3) $a,\ b,\ n$を用いて$a_n,\ b_n$を表しなさい．
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