山口大学
2013年 工・理・教育 第2問
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等式$\left( \begin{array}{cc}
2 & 3 \\
3 & 5
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
1 \\
y
\end{array} \right)=x \left( \begin{array}{c}
1 \\
y
\end{array} \right)$を満たす定数$x,\ y$の組$(x,\ y)$を$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$とする．ただし，$y_1<y_2$とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1) $(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$を求めなさい．
(2) 次の等式を満たす定数$\alpha,\ \beta$の値を求めなさい． \[ \alpha \left( \begin{array}{c} 1 \\ y_1 \end{array} \right)+\beta \left( \begin{array}{c} 1 \\ y_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right) \]
(3) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が， \[ \left( \begin{array}{c} a_n \\ b_n \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{array} \right)^n \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で定められるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{b_n}{a_n}$を求めなさい．
(1) $(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$を求めなさい．
(2) 次の等式を満たす定数$\alpha,\ \beta$の値を求めなさい． \[ \alpha \left( \begin{array}{c} 1 \\ y_1 \end{array} \right)+\beta \left( \begin{array}{c} 1 \\ y_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right) \]
(3) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が， \[ \left( \begin{array}{c} a_n \\ b_n \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{array} \right)^n \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で定められるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{b_n}{a_n}$を求めなさい．
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