$x>0,\ x \neq 1$を定義域とする次の$5$つの関数を考える． \[ \frac{x^2+1}{2},\quad \frac{2x^2}{x^2+1},\quad x,\quad \left( \frac{x+1}{2} \right)^2,\quad \frac{x^2-1}{2 \log x} \] このとき，次の問いに答えなさい．
(1) 上の$5$つの関数の間に$\fbox{1}<\fbox{2}<\fbox{3}<\fbox{4}<\fbox{5}$の不等式が成立するとすれば，$\fbox{1}$から$\fbox{5}$にはどの関数が入るか．$x=2$を代入することによりそれらを決定しなさい．ただし，$\log 2=0.693 \cdots$とする．
(2) $\fbox{4}<\fbox{5}$の部分の不等式を証明しなさい．
(3) $\fbox{2}<\fbox{3}$の部分の不等式を証明しなさい．