早稲田大学
2015年 基幹理工・創造理工・先進理工 第5問
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$a>0$とする.$xy$平面上に点$\mathrm{A}(-\sqrt{2}a,\ 0)$,$\mathrm{B}(\sqrt{2}a,\ 0)$を固定する.動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は条件$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}=4a$をみたすものとする.次の問に答えよ.
(1) 点$\mathrm{P}$の軌跡として得られる曲線の方程式を求めよ.ただし,答のみでよい.
(2) $(1)$の曲線の$-\sqrt{2}a \leqq x \leqq \sqrt{2}a$の部分と,直線$x=-\sqrt{2}a$,直線$x=\sqrt{2}a$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を考える.この立体の体積$V$を求めよ.
(3) $(2)$の立体の表面積$S$を求めよ.ここで,$y=f(x)$のグラフの$p \leqq x \leqq q$の部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる曲面の面積は \[ 2\pi \int_p^q \sqrt{\{f(x)\}^2+\{f(x)f^\prime(x)\}^2} \, dx \] として計算してよい.
(1) 点$\mathrm{P}$の軌跡として得られる曲線の方程式を求めよ.ただし,答のみでよい.
(2) $(1)$の曲線の$-\sqrt{2}a \leqq x \leqq \sqrt{2}a$の部分と,直線$x=-\sqrt{2}a$,直線$x=\sqrt{2}a$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を考える.この立体の体積$V$を求めよ.
(3) $(2)$の立体の表面積$S$を求めよ.ここで,$y=f(x)$のグラフの$p \leqq x \leqq q$の部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる曲面の面積は \[ 2\pi \int_p^q \sqrt{\{f(x)\}^2+\{f(x)f^\prime(x)\}^2} \, dx \] として計算してよい.
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