京都薬科大学
2011年 薬学部 第4問
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四面体$\mathrm{OABC}$について,次の$\fbox{}$にあてはまる正の数を記入せよ.ただし,$\fbox{ア}:\fbox{イ}$,$\fbox{ウ}:\fbox{エ}$および$\fbox{オ}:\fbox{カ}$については,もっとも簡単な整数比で表すこと.
(1) 三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$,線分$\mathrm{OG}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{D}$,直線$\mathrm{BD}$と平面$\mathrm{AOC}$の交点を$\mathrm{E}$,直線$\mathrm{OE}$と直線$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{F}$とする.このとき, \[ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\fbox{} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\fbox{} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\fbox{} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \] となり, \[ \overrightarrow{\mathrm{BD}}=\fbox{} \overrightarrow{\mathrm{OA}}-\fbox{} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\fbox{} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \] となる.また,$\mathrm{OE}:\mathrm{EF}=\fbox{ア}:\fbox{イ}$,$\mathrm{BD}:\mathrm{DE}=\fbox{ウ}:\fbox{エ}$であり,二つの四面体$\mathrm{ABFO}$と$\mathrm{CEFB}$の体積比は$\fbox{オ}:\fbox{カ}$である.
(2) $\angle \mathrm{COB}={30}^\circ$,$\angle \mathrm{AOC}={45}^\circ$,$\angle \mathrm{CAO}={60}^\circ$,$\mathrm{OA}=\sqrt{3}+1$,$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$とすると,$\mathrm{OC}=\fbox{}$,$\mathrm{CA}=\fbox{}$であり,$\mathrm{OB}$は$\fbox{$\ast$}$または$\fbox{$\ast\ast$}$である.ただし,$\fbox{$\ast$}>\fbox{$\ast\ast$}$とする.
(1) 三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$,線分$\mathrm{OG}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{D}$,直線$\mathrm{BD}$と平面$\mathrm{AOC}$の交点を$\mathrm{E}$,直線$\mathrm{OE}$と直線$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{F}$とする.このとき, \[ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\fbox{} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\fbox{} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\fbox{} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \] となり, \[ \overrightarrow{\mathrm{BD}}=\fbox{} \overrightarrow{\mathrm{OA}}-\fbox{} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\fbox{} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \] となる.また,$\mathrm{OE}:\mathrm{EF}=\fbox{ア}:\fbox{イ}$,$\mathrm{BD}:\mathrm{DE}=\fbox{ウ}:\fbox{エ}$であり,二つの四面体$\mathrm{ABFO}$と$\mathrm{CEFB}$の体積比は$\fbox{オ}:\fbox{カ}$である.
(2) $\angle \mathrm{COB}={30}^\circ$,$\angle \mathrm{AOC}={45}^\circ$,$\angle \mathrm{CAO}={60}^\circ$,$\mathrm{OA}=\sqrt{3}+1$,$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$とすると,$\mathrm{OC}=\fbox{}$,$\mathrm{CA}=\fbox{}$であり,$\mathrm{OB}$は$\fbox{$\ast$}$または$\fbox{$\ast\ast$}$である.ただし,$\fbox{$\ast$}>\fbox{$\ast\ast$}$とする.
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