九州大学
2014年 文系 第3問
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鋭角三角形$\triangle \mathrm{ABC}$について,$\angle \mathrm{A}$,$\angle \mathrm{B}$,$\angle \mathrm{C}$の大きさを,それぞれ$A$,$B$,$C$とする.$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$,外心を$\mathrm{O}$とし,外接円の半径を$R$とする.
(1) $\mathrm{A}$と$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を,それぞれ$\mathrm{AD}$,$\mathrm{OE}$とする.このとき, \[ \mathrm{AD}=2R \sin B \sin C,\quad \mathrm{OE}=R \cos A \] を証明せよ.
(2) $\mathrm{G}$と$\mathrm{O}$が一致するならば$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形であることを証明せよ.
(3) $\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形でないとし,さらに$\mathrm{OG}$が$\mathrm{BC}$と平行であるとする.このとき, \[ \mathrm{AD}=3 \mathrm{OE},\quad \tan B \tan C=3 \] を証明せよ.
(1) $\mathrm{A}$と$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を,それぞれ$\mathrm{AD}$,$\mathrm{OE}$とする.このとき, \[ \mathrm{AD}=2R \sin B \sin C,\quad \mathrm{OE}=R \cos A \] を証明せよ.
(2) $\mathrm{G}$と$\mathrm{O}$が一致するならば$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形であることを証明せよ.
(3) $\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形でないとし,さらに$\mathrm{OG}$が$\mathrm{BC}$と平行であるとする.このとき, \[ \mathrm{AD}=3 \mathrm{OE},\quad \tan B \tan C=3 \] を証明せよ.
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