公立はこだて未来大学
2012年 理系 第7問
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![原点Oを中心とする半径1の円において扇形OABを考える.ただし,点Aは(1,0)であり,点Bは第1象限にあるとする.扇形OABの中心角は,xラジアン(0<x<π/2)であるとする.点BからOAにおろした垂線をBC,点Aにおける円の接線が,点Oと点Bを通る直線と交わる点をDとする.以下の問いに答えよ.(1)三角形ODA,三角形OAB,扇形OABの面積を,xを用いてそれぞれ表せ.(2)不等式cosx<\frac{sinx}{x}<1が成り立つことを示せ.(3)\lim_{x→+0}\frac{sinx}{x}=1を示せ.ただし,x→+0は,xが正の値をとりながら限りなく0に近づくことを表す.](./thumb/9/0/2012_7.png)
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原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円において扇形$\mathrm{OAB}$を考える.ただし,点$\mathrm{A}$は$(1,\ 0)$であり,点$\mathrm{B}$は第$1$象限にあるとする.扇形$\mathrm{OAB}$の中心角は,$x$ラジアン$\displaystyle \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$であるとする.点$\mathrm{B}$から$\mathrm{OA}$におろした垂線を$\mathrm{BC}$,点$\mathrm{A}$における円の接線が,点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{B}$を通る直線と交わる点を$\mathrm{D}$とする.以下の問いに答えよ.
(1) 三角形$\mathrm{ODA}$,三角形$\mathrm{OAB}$,扇形$\mathrm{OAB}$の面積を,$x$を用いてそれぞれ表せ.
(2) 不等式$\displaystyle \cos x<\frac{\sin x}{x}<1$が成り立つことを示せ.
(3) $\displaystyle \lim_{x \to +0}\frac{\sin x}{x}=1$を示せ.ただし,$x \to +0$は,$x$が正の値をとりながら限りなく$0$に近づくことを表す.
(1) 三角形$\mathrm{ODA}$,三角形$\mathrm{OAB}$,扇形$\mathrm{OAB}$の面積を,$x$を用いてそれぞれ表せ.
(2) 不等式$\displaystyle \cos x<\frac{\sin x}{x}<1$が成り立つことを示せ.
(3) $\displaystyle \lim_{x \to +0}\frac{\sin x}{x}=1$を示せ.ただし,$x \to +0$は,$x$が正の値をとりながら限りなく$0$に近づくことを表す.
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コメント(2件)
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