秋田大学
2016年 医学部 第3問
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![b>0,a=2√3bとし,原点をOとする座標平面上の楕円\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1をEとする.楕円E上の点P(x,y)の媒介変数表示はx=acosθ,y=bsinθ(0≦θ<2π)で与えられる.次の問いに答えよ.(1)点Pで楕円Eと共通の接線をもつ円を考える.このような円のうち,不等式\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}≧1の表す領域内にある円をCとする.円Cの半径をr(θ)とするとき,Cの中心をθとr(θ)を用いて表せ.(2)2d=11bとし,4つの頂点が(d,d),(-d,d),(-d,-d),(d,-d)である正方形Fを考える.点Pが楕円E上を動くとき,(1)の円Cの中心は正方形Fの周上を動くとする.このとき,0≦θ≦π/2に対して,Cの半径r(θ)を求めよ.(3)(2)のr(θ)の0≦θ≦π/2における最大値は\frac{5√5}{2}bであることを示せ.](./thumb/66/2104/2016_3.png)
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$b>0$,$a=2 \sqrt{3}b$とし,原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の楕円$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$を$E$とする.楕円$E$上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$の媒介変数表示は$x=a \cos \theta$,$y=b \sin \theta \ \ (0 \leqq \theta<2\pi)$で与えられる.次の問いに答えよ.
(1) 点$\mathrm{P}$で楕円$E$と共通の接線をもつ円を考える.このような円のうち,不等式$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \geqq 1$の表す領域内にある円を$C$とする.円$C$の半径を$r(\theta)$とするとき,$C$の中心を$\theta$と$r(\theta)$を用いて表せ.
(2) $2d=11b$とし,$4$つの頂点が$(d,\ d)$,$(-d,\ d)$,$(-d,\ -d)$,$(d,\ -d)$である正方形$F$を考える.点$\mathrm{P}$が楕円$E$上を動くとき,$(1)$の円$C$の中心は正方形$F$の周上を動くとする.このとき,$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$に対して,$C$の半径$r(\theta)$を求めよ.
(3) $(2)$の$r(\theta)$の$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$における最大値は$\displaystyle \frac{5 \sqrt{5}}{2}b$であることを示せ.
(1) 点$\mathrm{P}$で楕円$E$と共通の接線をもつ円を考える.このような円のうち,不等式$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \geqq 1$の表す領域内にある円を$C$とする.円$C$の半径を$r(\theta)$とするとき,$C$の中心を$\theta$と$r(\theta)$を用いて表せ.
(2) $2d=11b$とし,$4$つの頂点が$(d,\ d)$,$(-d,\ d)$,$(-d,\ -d)$,$(d,\ -d)$である正方形$F$を考える.点$\mathrm{P}$が楕円$E$上を動くとき,$(1)$の円$C$の中心は正方形$F$の周上を動くとする.このとき,$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$に対して,$C$の半径$r(\theta)$を求めよ.
(3) $(2)$の$r(\theta)$の$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$における最大値は$\displaystyle \frac{5 \sqrt{5}}{2}b$であることを示せ.
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