赤玉，白玉，青玉がそれぞれ$2$個以上入った袋がある．袋から同時に玉を$k$個取り出し，色を調べてからもとに戻す試行を$S(k)$とする．試行$S(1)$を続けて$2$回行うとき，赤玉が少なくとも$1$回出る確率が$\displaystyle \frac{5}{9}$，異なる色の玉が出る確率が$\displaystyle \frac{2}{3}$であるとする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1) 試行$S(1)$を$1$回行うとき，赤玉の出る確率と白玉の出る確率を求めなさい．
(2) 試行$S(2)$を続けて$2$回行う．$1$回目に取り出す玉の色と$2$回目に取り出す玉の色に重複がない確率が$\displaystyle \frac{1}{6}$であるとき，赤玉，白玉，青玉それぞれの個数を求めなさい．