山形大学
2014年 医学部 第4問
4
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行列$A=\left( \begin{array}{cc}
7 & -4 \\
5 & -2
\end{array} \right)$について，次の問に答えよ．ただし，$n$は自然数とする．
(1) $P=\left( \begin{array}{cc} 4 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} \right)$とするとき，$P^{-1}AP$を求めよ．
(2) $A^n$を求めよ．
(3) 数列$\{a_n\}$を漸化式$a_1=2$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{7a_n-4}{5a_n-2}$で定める．
(ⅰ) $A^n=\left( \begin{array}{cc} p_n & q_n \\ r_n & s_n \end{array} \right)$とおくとき，$A^{n+1}=AA^n$であることと数学的帰納法を用いて$\displaystyle a_{n+1}=\frac{2p_n+q_n}{2r_n+s_n}$が成り立つことを示せ．
(ⅱ) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(1) $P=\left( \begin{array}{cc} 4 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} \right)$とするとき，$P^{-1}AP$を求めよ．
(2) $A^n$を求めよ．
(3) 数列$\{a_n\}$を漸化式$a_1=2$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{7a_n-4}{5a_n-2}$で定める．
(ⅰ) $A^n=\left( \begin{array}{cc} p_n & q_n \\ r_n & s_n \end{array} \right)$とおくとき，$A^{n+1}=AA^n$であることと数学的帰納法を用いて$\displaystyle a_{n+1}=\frac{2p_n+q_n}{2r_n+s_n}$が成り立つことを示せ．
(ⅱ) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
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