行列 \[ A=\left( \begin{array}{cc} \displaystyle\frac{3}{2} & -1 \\ 1 & -\displaystyle\frac{1}{2} \end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc} p & -2 \\ 1 & q \end{array} \right),\quad J=\left( \begin{array}{cc} \displaystyle\frac{1}{2} & 1 \\ 0 & \displaystyle\frac{1}{2} \end{array} \right) \] が$AB=BJ$を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，$p,\ q$は定数であり，以下で用いる$n$は自然数である．
(1) $p,\ q$の値を求めよ．
(2) $\displaystyle J^n=\frac{1}{2^n} \left( \begin{array}{cc} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{array} \right)$を示せ．
(3) $\displaystyle A^n=\frac{1}{2^n} \left( \begin{array}{cc} 1+2n & -2n \\ 2n & 1-2n \end{array} \right)$を示せ．
(4) 行列$A^n$の表す$1$次変換により，$xy$平面上の点$(p,\ 1)$，$(-2,\ q)$が，それぞれ点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$に移される．原点を$\mathrm{O}$として，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}_n$のなす角を$\theta_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\cos \theta_n$を求めよ．