山形大学
2013年 工学部 第3問
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関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2 \ (x \geqq 0)$の逆関数を$f^{-1}(x)$とする．$xy$平面上に$2$曲線$C_1:y=f(x)$と$C_2:y=f^{-1}(x)$がある．次の問いに答えよ．
(1) $2$曲線$C_1,\ C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(2) $a \geqq 2$とする．曲線$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A} \left( a,\ \frac{a^2}{2} \right)$における接線を$\ell_1$，曲線$C_2$上の点$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{a^2}{2},\ a \right)$における接線を$\ell_2$とし，$2$直線$\ell_1,\ \ell_2$のなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．
(ⅰ) $\tan \theta$を$a$の式で表せ．
(ⅱ) $\displaystyle \lim_{a \to \infty} \sin^2 \theta$を求めよ．
(1) $2$曲線$C_1,\ C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(2) $a \geqq 2$とする．曲線$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A} \left( a,\ \frac{a^2}{2} \right)$における接線を$\ell_1$，曲線$C_2$上の点$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{a^2}{2},\ a \right)$における接線を$\ell_2$とし，$2$直線$\ell_1,\ \ell_2$のなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．
(ⅰ) $\tan \theta$を$a$の式で表せ．
(ⅱ) $\displaystyle \lim_{a \to \infty} \sin^2 \theta$を求めよ．
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