九州大学
2011年 理系 第2問
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$a$を正の定数とする.以下の問いに答えよ.
(1) 関数$f(x)=(x^2+2x+2-a^2)e^{-x}$の極大値および極小値を求めよ.
(2) $x \geqq 3$のとき,不等式$x^3 e^{-x} \leqq 27e^{-3}$が成り立つことを示せ.さらに,極限値 \[ \lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x} \] を求めよ.
(3) $k$を定数とする.$y=x^2+2x+2$のグラフと$y=ke^x+a^2$のグラフが異なる$3$点で交わるための必要十分条件を,$a$と$k$を用いて表せ.
(1) 関数$f(x)=(x^2+2x+2-a^2)e^{-x}$の極大値および極小値を求めよ.
(2) $x \geqq 3$のとき,不等式$x^3 e^{-x} \leqq 27e^{-3}$が成り立つことを示せ.さらに,極限値 \[ \lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x} \] を求めよ.
(3) $k$を定数とする.$y=x^2+2x+2$のグラフと$y=ke^x+a^2$のグラフが異なる$3$点で交わるための必要十分条件を,$a$と$k$を用いて表せ.
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