大阪教育大学
2015年 理系 第3問
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$a,\ b$は$0<a<b$を満たす定数とし,関数$y=\log x$のグラフを$G$とする.点$\mathrm{C}$が曲線$G$上を点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$から点$\mathrm{B}(b,\ \log b)$まで動くとき,点$\mathrm{C}$から$x$軸への垂線と線分$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とし,線分$\mathrm{CP}$の長さの最大値を$L$とする.このとき,以下の問に答えよ.ただし,$\log x$は自然対数を表すものとする.
(1) 不等式$\displaystyle a<\frac{b-a}{\log b-\log a}<b$が成り立つことを証明せよ.
(2) $\displaystyle h=\frac{b}{a}$とおくとき,$L$を$h$を用いて表せ.
(3) 実数$p,\ q,\ r$が$a<p<b$,$a<q<b$,$a<r<b$を満たすとき,不等式 \[ \frac{p+q+r}{3}<e^L \sqrt[3]{pqr} \] が成り立つことを証明せよ.ただし,$e$は自然対数の底とする.
(1) 不等式$\displaystyle a<\frac{b-a}{\log b-\log a}<b$が成り立つことを証明せよ.
(2) $\displaystyle h=\frac{b}{a}$とおくとき,$L$を$h$を用いて表せ.
(3) 実数$p,\ q,\ r$が$a<p<b$,$a<q<b$,$a<r<b$を満たすとき,不等式 \[ \frac{p+q+r}{3}<e^L \sqrt[3]{pqr} \] が成り立つことを証明せよ.ただし,$e$は自然対数の底とする.
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