山形大学
2015年 医学部 第4問
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曲線$y=e^x$上の点$\mathrm{A}(a,\ e^a)$における接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}(b,\ 0)$とする．ただし，$a>1$とする．この曲線と直線$\ell$および直線$x=b$で囲まれた図形を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1) $b$を$a$を用いて表せ．
(2) 図形$D$の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3) 定積分$\displaystyle \int_{e^b}^{e^a} (\log y)^2 \, dy$を$a$を用いて表せ．
(4) 図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を$a$を用いて表せ．
(5) $\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{V}{ae^a}$と$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{V}{aS}$を求めよ．
(1) $b$を$a$を用いて表せ．
(2) 図形$D$の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3) 定積分$\displaystyle \int_{e^b}^{e^a} (\log y)^2 \, dy$を$a$を用いて表せ．
(4) 図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を$a$を用いて表せ．
(5) $\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{V}{ae^a}$と$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{V}{aS}$を求めよ．
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コメント（1件）
2015-11-07 19:21:47
(3)は勢いで置換積分しましたが、そのまま部分積分した方が速いと思います。(4)は大きい三角錐からいろいろ引き算して求めたいものを計算しましょう。 |
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