高知工科大学
2011年 理系 第3問
3
![0以上の整数nに対してa_n=∫_0^1e^{-x}x^ndx(n=0,1,2,・・・)とおく.ここでeは自然対数の底である.次の各問に答えよ.(1)a_0とa_1を求めよ.(2)a_{n+1}とa_nの間に成り立つ関係式を求めよ.(3)等式\frac{a_n}{n!}=1-1/e(1/0!+1/1!+1/2!+・・・+1/n!)が成り立つことを証明せよ.(4)次式が成り立つことを証明せよ.\maru{1}0≦a_n≦a_0\qquad\maru{2}\lim_{n→∞}(1/0!+1/1!+1/2!+・・・+1/n!)=e](./thumb/676/232/2011_3.png)
3
0以上の整数$n$に対して
\[ a_n=\int_0^1 e^{-x}x^n \, dx \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
とおく.ここで$e$は自然対数の底である.次の各問に答えよ.
(1) $a_0$と$a_1$を求めよ.
(2) $a_{n+1}$と$a_n$の間に成り立つ関係式を求めよ.
(3) 等式 \[ \frac{a_n}{n!}=1-\frac{1}{e}\left(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right) \] が成り立つことを証明せよ.
(4) 次式が成り立つことを証明せよ. \[ \maru{1} \ 0 \leqq a_n \leqq a_0 \qquad \maru{2} \ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right)=e \]
(1) $a_0$と$a_1$を求めよ.
(2) $a_{n+1}$と$a_n$の間に成り立つ関係式を求めよ.
(3) 等式 \[ \frac{a_n}{n!}=1-\frac{1}{e}\left(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right) \] が成り立つことを証明せよ.
(4) 次式が成り立つことを証明せよ. \[ \maru{1} \ 0 \leqq a_n \leqq a_0 \qquad \maru{2} \ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right)=e \]
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