秋田大学
2015年 医学部 第3問
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![F(x),f(x),g(x)は関数である.次の問いに答えよ.(1)0<a≦πとし,F(x)=∫_a^xcos(t-a)g(sin(t-a))dt-f(x)とする.(i)f(x)は(1-x)∫_0^xf(t)dt=x∫_x^1f(t)dtとf(1)=1を満たすとする.f(x)を求めよ.(ii)f(x)は(i)で求めた関数である.g(x)は,x<yならばg(x)>g(y)を満たし,g(\frac{1}{√2})=0であるとする.このとき,開区間(a,2a)でF(x)が極大値をただ1つもつように,aの値の範囲を定めよ.(2)a≧0とし,F(x)=∫_a^{x+a}cos(t-a)g(sin(t-a))dt-f(x)とする.f(x)>0,f´(x)>0であり,g(x)=xf(x)であるとする.0≦x≦π/4のときF(x)≦0となることを示せ.](./thumb/66/2104/2015_3.png)
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$F(x),\ f(x),\ g(x)$は関数である.次の問いに答えよ.
(1) $0<a \leqq \pi$とし,$\displaystyle F(x)=\int_a^x \cos (t-a) g(\sin (t-a)) \, dt-f(x)$とする.
(ⅰ) $f(x)$は$\displaystyle (1-x) \int_0^x f(t) \, dt=x \int_x^1 f(t) \, dt$と$f(1)=1$を満たすとする.$f(x)$を求めよ.
(ⅱ) $f(x)$は$\tokeiichi$で求めた関数である.$g(x)$は,$x<y$ならば$g(x)>g(y)$を満たし,$\displaystyle g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)=0$であるとする.このとき,開区間$(a,\ 2a)$で$F(x)$が極大値をただ$1$つもつように,$a$の値の範囲を定めよ.
(2) $a \geqq 0$とし,$\displaystyle F(x)=\int_a^{x+a} \cos (t-a) g(\sin (t-a)) \, dt-f(x)$とする.$f(x)>0$,$f^\prime(x)>0$であり,$g(x)=xf(x)$であるとする.$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$F(x) \leqq 0$となることを示せ.
(1) $0<a \leqq \pi$とし,$\displaystyle F(x)=\int_a^x \cos (t-a) g(\sin (t-a)) \, dt-f(x)$とする.
(ⅰ) $f(x)$は$\displaystyle (1-x) \int_0^x f(t) \, dt=x \int_x^1 f(t) \, dt$と$f(1)=1$を満たすとする.$f(x)$を求めよ.
(ⅱ) $f(x)$は$\tokeiichi$で求めた関数である.$g(x)$は,$x<y$ならば$g(x)>g(y)$を満たし,$\displaystyle g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)=0$であるとする.このとき,開区間$(a,\ 2a)$で$F(x)$が極大値をただ$1$つもつように,$a$の値の範囲を定めよ.
(2) $a \geqq 0$とし,$\displaystyle F(x)=\int_a^{x+a} \cos (t-a) g(\sin (t-a)) \, dt-f(x)$とする.$f(x)>0$,$f^\prime(x)>0$であり,$g(x)=xf(x)$であるとする.$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$F(x) \leqq 0$となることを示せ.
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