山形大学
2015年 工学部 第4問
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![xy平面上に曲線C:y=logxがある.曲線C上の異なる2点A(a,loga),B(b,logb)における法線をそれぞれℓ,mとし,ℓとmの交点をPとする.線分APの長さをdとするとき,次の問いに答えよ.ただし,対数は自然対数である.(1)ℓの方程式を求めよ.(2)Pの座標をa,bを用いて表せ.(3)d=\sqrt{a^2+1}(b+\frac{loga-logb}{a-b})を示せ.(4)BがAに限りなく近づくときのdの極限値をr=\lim_{b→a}dとする.(i)r=\frac{(a^2+1)^{3/2}}{a}を示せ.(ii)aがa>0の範囲を動くとき,rの最小値と,そのときのaの値を求めよ.](./thumb/72/2158/2015_4.png)
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$xy$平面上に曲線$C:y=\log x$がある.曲線$C$上の異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$,$\mathrm{B}(b,\ \log b)$における法線をそれぞれ$\ell,\ m$とし,$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{P}$とする.線分$\mathrm{AP}$の長さを$d$とするとき,次の問いに答えよ.ただし,対数は自然対数である.
(1) $\ell$の方程式を求めよ.
(2) $\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle d=\sqrt{a^2+1} \left( b+\frac{\log a-\log b}{a-b} \right)$を示せ.
(4) $\mathrm{B}$が$\mathrm{A}$に限りなく近づくときの$d$の極限値を$\displaystyle r=\lim_{b \to a}d$とする.
(ⅰ) $\displaystyle r=\frac{(a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{a}$を示せ.
(ⅱ) $a$が$a>0$の範囲を動くとき,$r$の最小値と,そのときの$a$の値を求めよ.
(1) $\ell$の方程式を求めよ.
(2) $\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle d=\sqrt{a^2+1} \left( b+\frac{\log a-\log b}{a-b} \right)$を示せ.
(4) $\mathrm{B}$が$\mathrm{A}$に限りなく近づくときの$d$の極限値を$\displaystyle r=\lim_{b \to a}d$とする.
(ⅰ) $\displaystyle r=\frac{(a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{a}$を示せ.
(ⅱ) $a$が$a>0$の範囲を動くとき,$r$の最小値と,そのときの$a$の値を求めよ.
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