東京理科大学
2014年 基礎工 第4問
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![数列{a_n},{b_n}をa_n=∫_{n-1/4}^{n+1/4}e^{-4x}cos(2πx)dx,b_n=∫_{n-1/4}^{n+1/4}e^{-4x}sin(2πx)dx(n=1,2,3,・・・)と定める.ただし,eは自然対数の底を表す.(1)a_nを定める定積分に対して部分積分を行うことにより,a_n=-\frac{π}{[ア]}b_nがわかる.一方,b_nを定める定積分に対して部分積分を行うことにより,b_n=\frac{π}{[イ]}a_n-\frac{e^{\mkakko{ウ}}+[エ]}{[オ]e^{\mkakko{カ}n+\mkakko{キ}}}がわかる.これらの関係式より,a_nはa_n=\frac{π(e^{\mkakko{ク}}+[ケ])}{[コ](π^{\mkakko{サ}}+[シ])e^{\mkakko{ス}n+\mkakko{セ}}}となることがわかる.(2)無限級数Σ_{n=1}^∞a_nの和は\frac{π}{[ソ](π^{\mkakko{タ}}+[チ])(e^{\mkakko{ツ}}-e)}となる.](./thumb/269/272/2014_4.png)
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数列$\{a_n\}$,$\{b_n\}$を
\[ a_n=\int_{n-\frac{1}{4}}^{n+\frac{1}{4}} e^{-4x} \cos (2\pi x) \, dx,\quad b_n=\int_{n-\frac{1}{4}}^{n+\frac{1}{4}} e^{-4x} \sin (2\pi x) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める.ただし,$e$は自然対数の底を表す.
(1) $a_n$を定める定積分に対して部分積分を行うことにより, \[ a_n=-\frac{\pi}{\fbox{ア}}b_n \] がわかる.
一方,$b_n$を定める定積分に対して部分積分を行うことにより, \[ b_n=\frac{\pi}{\fbox{イ}}a_n-\frac{e^{\mkakko{ウ}}+\fbox{エ}}{\fbox{オ}e^{\mkakko{カ}n+\mkakko{キ}}} \] がわかる.
これらの関係式より,$a_n$は \[ a_n=\frac{\pi \left( e^{\mkakko{ク}}+\fbox{ケ} \right)}{\fbox{コ} \left( \pi^{\mkakko{サ}}+\fbox{シ} \right) e^{\mkakko{ス}n+\mkakko{セ}}} \] となることがわかる.
(2) 無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$の和は$\displaystyle \frac{\pi}{\fbox{ソ} \left( \pi^{\mkakko{タ}}+\fbox{チ} \right) \left( e^{\mkakko{ツ}}-e \right)}$となる.
(1) $a_n$を定める定積分に対して部分積分を行うことにより, \[ a_n=-\frac{\pi}{\fbox{ア}}b_n \] がわかる.
一方,$b_n$を定める定積分に対して部分積分を行うことにより, \[ b_n=\frac{\pi}{\fbox{イ}}a_n-\frac{e^{\mkakko{ウ}}+\fbox{エ}}{\fbox{オ}e^{\mkakko{カ}n+\mkakko{キ}}} \] がわかる.
これらの関係式より,$a_n$は \[ a_n=\frac{\pi \left( e^{\mkakko{ク}}+\fbox{ケ} \right)}{\fbox{コ} \left( \pi^{\mkakko{サ}}+\fbox{シ} \right) e^{\mkakko{ス}n+\mkakko{セ}}} \] となることがわかる.
(2) 無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$の和は$\displaystyle \frac{\pi}{\fbox{ソ} \left( \pi^{\mkakko{タ}}+\fbox{チ} \right) \left( e^{\mkakko{ツ}}-e \right)}$となる.
類題(関連度順)
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