山形大学
2013年 理学部(数理) 第4問
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自然数$n$に対し,座標平面上の点$(n,\ 1)$を$\mathrm{P}_n$とする.また,$r$を正の実数とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) $1$次変換$f$は,すべての$n$に対して$f(\mathrm{P}_n)=\mathrm{P}_{n+1}$を満たすとする.$f$を表す行列$A$を求めよ.
(2) $1$次変換$g$は,点$(1,\ 1)$を点$(-2r,\ 1)$に,点$(-2r,\ 1)$を点$(2r^2-r,\ 1)$に移すとする.$g$を表す行列$B$を求めよ.
(3) $C=ABA^{-1}$とする.行列$C^n$を推定し,それが正しいことを数学的帰納法によって示せ.
(4) 行列$C^n$で表される$1$次変換による点$(1,\ r)$の像の$x$座標を$x_n$とする.$r<1$のとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ.
(1) $1$次変換$f$は,すべての$n$に対して$f(\mathrm{P}_n)=\mathrm{P}_{n+1}$を満たすとする.$f$を表す行列$A$を求めよ.
(2) $1$次変換$g$は,点$(1,\ 1)$を点$(-2r,\ 1)$に,点$(-2r,\ 1)$を点$(2r^2-r,\ 1)$に移すとする.$g$を表す行列$B$を求めよ.
(3) $C=ABA^{-1}$とする.行列$C^n$を推定し,それが正しいことを数学的帰納法によって示せ.
(4) 行列$C^n$で表される$1$次変換による点$(1,\ r)$の像の$x$座標を$x_n$とする.$r<1$のとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ.
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