東京大学
2015年 理系 第4問
4
![数列{p_n}を次のように定める.p_1=1,p_2=2,p_{n+2}=\frac{p_{n+1}^2+1}{p_n}(n=1,2,3,・・・)(1)\frac{p_{n+1}^2+p_n^2+1}{p_{n+1}p_n}がnによらないことを示せ.(2)すべてのn=2,3,4,・・・に対し,p_{n+1}+p_{n-1}をp_nのみを使って表せ.(3)数列{q_n}を次のように定める.q_1=1,q_2=1,q_{n+2}=q_{n+1}+q_n(n=1,2,3,・・・)すべてのn=1,2,3,・・・に対し,p_n=q_{2n-1}を示せ.](./thumb/179/910/2015_4.png)
4
数列$\{p_n\}$を次のように定める.
\[ p_1=1,\quad p_2=2,\quad p_{n+2}=\frac{p_{n+1}^2+1}{p_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1) $\displaystyle \frac{p_{n+1}^2+p_n^2+1}{p_{n+1}p_n}$が$n$によらないことを示せ.
(2) すべての$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対し,$p_{n+1}+p_{n-1}$を$p_n$のみを使って表せ.
(3) 数列$\{q_n\}$を次のように定める. \[ q_1=1,\quad q_2=1,\quad q_{n+2}=q_{n+1}+q_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] すべての$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し,$p_n=q_{2n-1}$を示せ.
(1) $\displaystyle \frac{p_{n+1}^2+p_n^2+1}{p_{n+1}p_n}$が$n$によらないことを示せ.
(2) すべての$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対し,$p_{n+1}+p_{n-1}$を$p_n$のみを使って表せ.
(3) 数列$\{q_n\}$を次のように定める. \[ q_1=1,\quad q_2=1,\quad q_{n+2}=q_{n+1}+q_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] すべての$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し,$p_n=q_{2n-1}$を示せ.
類題(関連度順)
![](./thumb/650/2794/2013_2s.png)
![](./thumb/196/2181/2010_1s.png)
![](./thumb/665/2851/2012_4s.png)
![](./thumb/72/2158/2010_4s.png)
![](./thumb/507/2698/2013_2s.png)
![](./thumb/412/2575/2016_2s.png)
![](./thumb/748/3103/2012_3s.png)
![](./thumb/397/1051/2015_1s.png)
![](./thumb/7/18/2010_3s.png)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。