広島大学
2011年 理系 第4問
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![平面上で,線分ABを1:2に内分する点をOとし,Oを中心とする半径OBの円をS,円Sと直線ABとの交点のうち点Bと異なる方をCとする.点Pは円Sの内部にあり,線分BC上にないものとする.円Sと直線PBとの交点のうち点Bと異なる方をQとする.ベクトルPA=ベクトルa,ベクトルPB=ベクトルb,∠ APB =θとおくとき,次の問いに答えよ.(1)ベクトルPO,ベクトルPC,ベクトルOBをベクトルa,ベクトルbで表せ.(2)点Pが円Sの内部にあることを用いて,cosθ<\frac{|ベクトルb|}{4|ベクトルa|}を証明せよ.(3)PQの長さを|ベクトルa|,|ベクトルb|,θで表せ.(4) PA =3, PB =2とする.△ QAB =3△ POB を満たすとき,△PABの面積を求めよ.](./thumb/629/1921/2011_4.png)
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平面上で,線分ABを$1:2$に内分する点をOとし,Oを中心とする半径OBの円を$S$,円$S$と直線ABとの交点のうち点Bと異なる方をCとする.点Pは円$S$の内部にあり,線分BC上にないものとする.円$S$と直線PBとの交点のうち点Bと異なる方をQとする.$\overrightarrow{\mathrm{PA}} =\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{PB}} =\overrightarrow{b},\ \angle \text{APB} = \theta$とおくとき,次の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{PO}},\ \overrightarrow{\mathrm{PC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ.
(2) 点Pが円$S$の内部にあることを用いて,$\displaystyle \cos \theta < \frac{|\overrightarrow{b}|}{4|\overrightarrow{a}|}$を証明せよ.
(3) PQの長さを$|\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \theta$で表せ.
(4) $\text{PA}=3,\ \text{PB}=2$とする.$\triangle \text{QAB} = 3 \triangle \text{POB}$を満たすとき,$\triangle$PABの面積を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{PO}},\ \overrightarrow{\mathrm{PC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ.
(2) 点Pが円$S$の内部にあることを用いて,$\displaystyle \cos \theta < \frac{|\overrightarrow{b}|}{4|\overrightarrow{a}|}$を証明せよ.
(3) PQの長さを$|\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \theta$で表せ.
(4) $\text{PA}=3,\ \text{PB}=2$とする.$\triangle \text{QAB} = 3 \triangle \text{POB}$を満たすとき,$\triangle$PABの面積を求めよ.
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