慶應義塾大学
2015年 商学部 第1問
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$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に,$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 2)$,$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 0)$がある.
(1) $\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{$1$}\fbox{$2$}}}{\fbox{$3$}}$である.
(2) 点$\mathrm{C}$の位置を,位置ベクトル \[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \] によって定める.このとき,$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の比は \[ \frac{\triangle \mathrm{ABC}}{\triangle \mathrm{OAB}}=\frac{\fbox{$4$}}{\fbox{$5$}} \] である.
(3) $2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方に垂直な単位ベクトルのうちの$1$つは, \[ \frac{\sqrt{\fbox{$6$}\fbox{$7$}}}{21} \left( \fbox{$8$},\ -\fbox{$9$},\ 1 \right) \] である.
(4) $t$を実数として,点$\displaystyle \mathrm{D} \left( \frac{t^2}{4},\ 4t,\ 19 \right)$を定める.このとき,四面体$\mathrm{ABCD}$の体積$V(t)$は \[ V(t)=\frac{\fbox{$10$}}{\fbox{$11$}\fbox{$12$}} \left( t^2-\fbox{$13$}t+\fbox{$14$}\fbox{$15$} \right) \] である.
(5) 数列$\{a_n\}$を次のように定める. \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+\frac{n+1}{10} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] このとき,$V(a_n)$は,$n=\fbox{$16$}$で最小となる.
(1) $\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{$1$}\fbox{$2$}}}{\fbox{$3$}}$である.
(2) 点$\mathrm{C}$の位置を,位置ベクトル \[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \] によって定める.このとき,$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の比は \[ \frac{\triangle \mathrm{ABC}}{\triangle \mathrm{OAB}}=\frac{\fbox{$4$}}{\fbox{$5$}} \] である.
(3) $2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方に垂直な単位ベクトルのうちの$1$つは, \[ \frac{\sqrt{\fbox{$6$}\fbox{$7$}}}{21} \left( \fbox{$8$},\ -\fbox{$9$},\ 1 \right) \] である.
(4) $t$を実数として,点$\displaystyle \mathrm{D} \left( \frac{t^2}{4},\ 4t,\ 19 \right)$を定める.このとき,四面体$\mathrm{ABCD}$の体積$V(t)$は \[ V(t)=\frac{\fbox{$10$}}{\fbox{$11$}\fbox{$12$}} \left( t^2-\fbox{$13$}t+\fbox{$14$}\fbox{$15$} \right) \] である.
(5) 数列$\{a_n\}$を次のように定める. \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+\frac{n+1}{10} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] このとき,$V(a_n)$は,$n=\fbox{$16$}$で最小となる.
類題(関連度順)
コメント(2件)
2015-08-03 08:08:16
作りました。A,Bの中点をMとしたときベクトルOCはベクトルOMを4/3倍したものになります。 |
2015-07-31 19:09:21
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