大阪市立大学
2016年 理系 第2問
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![次の問いに答えよ.(1)0以上の整数nに対し,C_n=∫_0^{π/2}cos^nxdxとおくとき,C_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}C_nを示せ.ただし,cos^0x=1と定める.(2)座標空間内で,連立不等式x^2+y^2≦1,z+2x^2-x^4≦1,x≧0,y≧0,z≧0の表す領域の体積を求めよ.](./thumb/506/1169/2016_2.png)
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次の問いに答えよ.
(1) $0$以上の整数$n$に対し,$\displaystyle C_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$とおくとき,$\displaystyle C_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}C_n$を示せ.ただし,$\cos^0 x=1$と定める.
(2) 座標空間内で,連立不等式 \[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad z+2x^2-x^4 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad z \geqq 0 \] の表す領域の体積を求めよ.
(1) $0$以上の整数$n$に対し,$\displaystyle C_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$とおくとき,$\displaystyle C_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}C_n$を示せ.ただし,$\cos^0 x=1$と定める.
(2) 座標空間内で,連立不等式 \[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad z+2x^2-x^4 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad z \geqq 0 \] の表す領域の体積を求めよ.
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