茨城大学
2016年 工学部 第1問
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![以下の各問に答えよ.ただし,対数は自然対数であり,eは自然対数の底である.(1)曲線C:y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}について,傾きが1である接線をℓとする.Cとℓとの接点の座標を求めよ.(2)実数α,βが0<α<β<1を満たすとき,2つの実数\frac{e^α-α}{α}と\frac{e^β-β}{β}の大小関係を不等号を用いて表せ.(3)定積分∫_0^{e-1}xlog(x+1)dxを求めよ.](./thumb/85/2191/2016_1.png)
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以下の各問に答えよ.ただし,対数は自然対数であり,$e$は自然対数の底である.
(1) 曲線$\displaystyle C:y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$について,傾きが$1$である接線を$\ell$とする.$C$と$\ell$との接点の座標を求めよ.
(2) 実数$\alpha,\ \beta$が$0<\alpha<\beta<1$を満たすとき,$2$つの実数$\displaystyle \frac{e^\alpha-\alpha}{\alpha}$と$\displaystyle \frac{e^\beta-\beta}{\beta}$の大小関係を不等号を用いて表せ.
(3) 定積分$\displaystyle \int_0^{e-1} x \log (x+1) \, dx$を求めよ.
(1) 曲線$\displaystyle C:y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$について,傾きが$1$である接線を$\ell$とする.$C$と$\ell$との接点の座標を求めよ.
(2) 実数$\alpha,\ \beta$が$0<\alpha<\beta<1$を満たすとき,$2$つの実数$\displaystyle \frac{e^\alpha-\alpha}{\alpha}$と$\displaystyle \frac{e^\beta-\beta}{\beta}$の大小関係を不等号を用いて表せ.
(3) 定積分$\displaystyle \int_0^{e-1} x \log (x+1) \, dx$を求めよ.
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