茨城大学
2015年 理学部 第2問
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座標平面上の相異なる$3$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$が$2$つの条件
\[ \left\{ \begin{array}{l}
|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{QR}}| \\
\overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}=-\displaystyle\frac{1}{3} \phantom{\displaystyle\frac{\fbox{}}{2}}
\end{array} \right. \hfill \cdots\cdots (\ast) \]
を満たしながら動くものとする.$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$を$a$とする.以下の各問に答えよ.
(1) $|\overrightarrow{\mathrm{PR}}|$を$a$で表せ.
(2) $\displaystyle \angle \mathrm{PQR}=\frac{2}{3} \pi$のときの$a$を求めよ.また,$\angle \mathrm{PQR}=\pi$のときの$a$を求めよ.
(3) $a$がとり得る値の範囲を求めよ.
(4) 原点を$\mathrm{O}$とし,点$\mathrm{R}$を$(1,\ 0)$に固定する.点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$が$(\ast)$および \[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}| \] を満たしながら動くとする.点$\mathrm{P}$が描く軌跡を求めよ.
(5) $(4)$において,点$\mathrm{P}$が描く軌跡の長さを求めよ.
(1) $|\overrightarrow{\mathrm{PR}}|$を$a$で表せ.
(2) $\displaystyle \angle \mathrm{PQR}=\frac{2}{3} \pi$のときの$a$を求めよ.また,$\angle \mathrm{PQR}=\pi$のときの$a$を求めよ.
(3) $a$がとり得る値の範囲を求めよ.
(4) 原点を$\mathrm{O}$とし,点$\mathrm{R}$を$(1,\ 0)$に固定する.点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$が$(\ast)$および \[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}| \] を満たしながら動くとする.点$\mathrm{P}$が描く軌跡を求めよ.
(5) $(4)$において,点$\mathrm{P}$が描く軌跡の長さを求めよ.
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