関西大学
2011年 理系 第2問
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$a,\ b$を実数の定数とし,$3$つの行列
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
3 & -2 \\
a & 1
\end{array} \right),\quad R=\frac{1}{2} \left( \begin{array}{rr}
5 & -4 \\
6 & -5
\end{array} \right),\quad Q=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle \frac{1}{2} & 0 \\
0 & b
\end{array} \right) \]
は$AR=QA$を満たしている.次の$\fbox{}$をうめよ.
$AR=QA$を満たす$a$の値は$2$つある.そのうち,$A$が逆行列をもたないのは,$a=\fbox{$\maruichi$}$のときであり,このとき,$b=\fbox{$\maruni$}$である.$A$が逆行列$A^{-1}$をもつのは,$a=\fbox{$\marusan$}$のときであり,このとき,$A^{-1}=\fbox{$\marushi$}$,$b=\fbox{$\marugo$}$である.
$n$を$2$以上の自然数として, \[ S_n=A+AR+AR^2+\cdots +AR^{n-1} \] とおく.$AR=QA$であるから,$S_n$は実数$x_n,\ y_n$を用いて \[ S_n=\left( \begin{array}{cc} x_n & 0 \\ 0 & y_n \end{array} \right) A \] と表される.
$a=\fbox{$\marusan$}$のときは,$x_n=\fbox{$\maruroku$}$,$y_n=\fbox{$\marushichi$}$である.したがって,$E$を単位行列として, \[ E+R+R^2+\cdots +R^{n-1}=\left( \begin{array}{cc} p_n & q_n \\ r_n & s_n \end{array} \right) \] とおくと,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n=\fbox{$\maruhachi$}$である.
$AR=QA$を満たす$a$の値は$2$つある.そのうち,$A$が逆行列をもたないのは,$a=\fbox{$\maruichi$}$のときであり,このとき,$b=\fbox{$\maruni$}$である.$A$が逆行列$A^{-1}$をもつのは,$a=\fbox{$\marusan$}$のときであり,このとき,$A^{-1}=\fbox{$\marushi$}$,$b=\fbox{$\marugo$}$である.
$n$を$2$以上の自然数として, \[ S_n=A+AR+AR^2+\cdots +AR^{n-1} \] とおく.$AR=QA$であるから,$S_n$は実数$x_n,\ y_n$を用いて \[ S_n=\left( \begin{array}{cc} x_n & 0 \\ 0 & y_n \end{array} \right) A \] と表される.
$a=\fbox{$\marusan$}$のときは,$x_n=\fbox{$\maruroku$}$,$y_n=\fbox{$\marushichi$}$である.したがって,$E$を単位行列として, \[ E+R+R^2+\cdots +R^{n-1}=\left( \begin{array}{cc} p_n & q_n \\ r_n & s_n \end{array} \right) \] とおくと,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n=\fbox{$\maruhachi$}$である.
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