千葉大学
2015年 理学部(数学・情報数理) 第4問
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![双曲線x^2-y^2=1・・・①の漸近線y=x・・・②上の点P_0:(a_0,a_0)(ただしa_0>0)を通る双曲線①の接線を考え,接点をQ_1とする.Q_1を通り漸近線②と垂直に交わる直線と,漸近線②との交点をP_1:(a_1,a_1)とする.次にP_1を通る双曲線①の接線の接点をQ_2,Q_2を通り漸近線②と垂直に交わる直線と,漸近線②との交点をP_2:(a_2,a_2)とする.この手続きを繰り返して同様にして点P_n:(a_n,a_n),Q_nを定義していく.(1)Q_nの座標をa_nを用いて表せ.(2)a_nをa_0を用いて表せ.(3)△P_nQ_nP_{n-1}の面積を求めよ.](./thumb/146/3173/2015_4.png)
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双曲線$x^2-y^2=1 \ \ \cdots \maruichi$の漸近線$y=x \ \ \cdots \maruni$上の点$\mathrm{P}_0:(a_0,\ a_0)$(ただし$a_0>0$)を通る双曲線$\maruichi$の接線を考え,接点を$\mathrm{Q}_1$とする.$\mathrm{Q}_1$を通り漸近線$\maruni$と垂直に交わる直線と,漸近線$\maruni$との交点を$\mathrm{P}_1:(a_1,\ a_1)$とする.次に$\mathrm{P}_1$を通る双曲線$\maruichi$の接線の接点を$\mathrm{Q}_2$,$\mathrm{Q}_2$を通り漸近線$\maruni$と垂直に交わる直線と,漸近線$\maruni$との交点を$\mathrm{P}_2:(a_2,\ a_2)$とする.この手続きを繰り返して同様にして点$\mathrm{P}_n:(a_n,\ a_n)$,$\mathrm{Q}_n$を定義していく.
(1) $\mathrm{Q}_n$の座標を$a_n$を用いて表せ.
(2) $a_n$を$a_0$を用いて表せ.
(3) $\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n-1}$の面積を求めよ.
(1) $\mathrm{Q}_n$の座標を$a_n$を用いて表せ.
(2) $a_n$を$a_0$を用いて表せ.
(3) $\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n-1}$の面積を求めよ.
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