山形大学
2016年 理学部（数理） 第3問
3
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数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問に答えよ．
(1) $b_n=a_n+3n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(2) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3) すべての自然数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(4) 次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ． \[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5) 次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ． \[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1) $b_n=a_n+3n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(2) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3) すべての自然数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(4) 次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ． \[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5) 次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ． \[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
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