山形大学
2016年 理学部(物理) 第2問
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次の問いに答えよ.
(1) 次の定積分を求めよ. \[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1}{\sin x} \, dx \]
(2) 次の定積分を求めよ. \[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x-\displaystyle\frac{\pi}{2}}{\sin x} \, dx \]
(3) $(1),\ (2)$の結果を用いて次の定積分を求めよ. \[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x}{\sin x} \, dx \]
(4) 次の定積分を求めよ. \[ \int_{\frac{1}{e}}^1 \left( 1+\frac{1}{x} \right) \log x \, dx \]
(5) 次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ. \[ f(x)=\sin^2 x+2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \cos t \, dt \]
(1) 次の定積分を求めよ. \[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1}{\sin x} \, dx \]
(2) 次の定積分を求めよ. \[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x-\displaystyle\frac{\pi}{2}}{\sin x} \, dx \]
(3) $(1),\ (2)$の結果を用いて次の定積分を求めよ. \[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x}{\sin x} \, dx \]
(4) 次の定積分を求めよ. \[ \int_{\frac{1}{e}}^1 \left( 1+\frac{1}{x} \right) \log x \, dx \]
(5) 次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ. \[ f(x)=\sin^2 x+2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \cos t \, dt \]
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