山形大学
2015年 工学部 第4問
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$xy$平面上に曲線$C:y=\log x$がある．曲線$C$上の異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}(b,\ \log b)$における法線をそれぞれ$\ell,\ m$とし，$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さを$d$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．
(1) $\ell$の方程式を求めよ．
(2) $\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle d=\sqrt{a^2+1} \left( b+\frac{\log a-\log b}{a-b} \right)$を示せ．
(4) $\mathrm{B}$が$\mathrm{A}$に限りなく近づくときの$d$の極限値を$\displaystyle r=\lim_{b \to a}d$とする．
(ⅰ) $\displaystyle r=\frac{(a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{a}$を示せ．
(ⅱ) $a$が$a>0$の範囲を動くとき，$r$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．
(1) $\ell$の方程式を求めよ．
(2) $\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle d=\sqrt{a^2+1} \left( b+\frac{\log a-\log b}{a-b} \right)$を示せ．
(4) $\mathrm{B}$が$\mathrm{A}$に限りなく近づくときの$d$の極限値を$\displaystyle r=\lim_{b \to a}d$とする．
(ⅰ) $\displaystyle r=\frac{(a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{a}$を示せ．
(ⅱ) $a$が$a>0$の範囲を動くとき，$r$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．
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コメント（1件）
2015-12-13 11:08:08
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