四面体$\mathrm{OABC}$は，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{2}{3} \pi$，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=3$を満たす．点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CH}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1) $\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(3) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CH}}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{a}-\frac{1}{2} \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$を示せ．
(4) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．