山形大学
2013年 医学部 第3問
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$R,\ r$を正の実数とし,$2r<R \leqq 3r$とする.右図のように,原点 \\
$\mathrm{O}$を中心とする半径$R$の固定された円$S$の内部に点$\mathrm{O}^\prime$を中心と \\
する半径$r$の円$T$があり,円$T$は円$S$に接しながらすべらずに \\
転がるものとする.ただし,点$\mathrm{O}^\prime$は点$\mathrm{O}$のまわりを反時計まわり \\
に動くものとする.はじめに点$\mathrm{O}^\prime$は$(R-r,\ 0)$の位置にあり, \\
円$T$上の点$\mathrm{P}$は$(R,\ 0)$の位置にあるとする.$x$軸の正の部分と \\
動径$\mathrm{OO}^\prime$のなす角が$\theta$ラジアンのとき,点$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする.このとき,次の問に答えよ.
\img{72_2151_2013_1}{60}
(1) $x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle 0<\theta<\frac{2r}{R} \cdot \frac{3}{2}\pi$において,$x(\theta)$が最小となるときの$\theta$の値を求めよ.
(3) $R=3,\ r=1$とする.$\theta>0$で点$\mathrm{P}$がはじめて$x$軸に到達したときの角$\theta_0$を求めよ.また,$0 \leqq \theta \leqq \theta_0$のとき,$y(\theta) \geqq 0$を示せ.
(4) $R=3,\ r=1$とする.$0 \leqq \theta \leqq \theta_0$における点$\mathrm{P}$の軌跡と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ.
(1) $x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle 0<\theta<\frac{2r}{R} \cdot \frac{3}{2}\pi$において,$x(\theta)$が最小となるときの$\theta$の値を求めよ.
(3) $R=3,\ r=1$とする.$\theta>0$で点$\mathrm{P}$がはじめて$x$軸に到達したときの角$\theta_0$を求めよ.また,$0 \leqq \theta \leqq \theta_0$のとき,$y(\theta) \geqq 0$を示せ.
(4) $R=3,\ r=1$とする.$0 \leqq \theta \leqq \theta_0$における点$\mathrm{P}$の軌跡と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ.
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