山形大学
2012年 理学部(数理) 第1問
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$k>0$とする.原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において,2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$は曲線$\displaystyle y=\frac{1}{k}x^2$上にあり,かつ$\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形とする.また,$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$S$とし,$\mathrm{C}$をその中心とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) 中心$\mathrm{C}$の座標を求めよ.
(2) 円$S$の方程式を求めよ.
(3) $T$を中心$\mathrm{D}(3k,\ -2k)$,半径$k$の円とする.$T$上の点$\mathrm{P}$から円$S$へ2本の接線を引いて,その接点を$\mathrm{E},\ \mathrm{F}$とする.線分$\mathrm{CP}$の長さを$t$として,内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$k$と$t$を用いて表せ.
(4) 点$\mathrm{P}$が円$T$上を動くとき,内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$の最大値と最小値を求めよ.
(1) 中心$\mathrm{C}$の座標を求めよ.
(2) 円$S$の方程式を求めよ.
(3) $T$を中心$\mathrm{D}(3k,\ -2k)$,半径$k$の円とする.$T$上の点$\mathrm{P}$から円$S$へ2本の接線を引いて,その接点を$\mathrm{E},\ \mathrm{F}$とする.線分$\mathrm{CP}$の長さを$t$として,内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$k$と$t$を用いて表せ.
(4) 点$\mathrm{P}$が円$T$上を動くとき,内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$の最大値と最小値を求めよ.
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