大阪工業大学
2015年 情報科学・知的財産 第3問
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数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_1=\frac{1}{2}$,$\displaystyle a_{n+1}=\frac{ka_n}{1+3a_n} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める.ただし,$k$は正の定数とする.このとき,次の空所を埋めよ.
(1) $k=1$のとき,$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$とおくと,数列$\{b_n\}$は初項$\fbox{ア}$,公差$\fbox{イ}$の等差数列となり,数列$\{a_n\}$の一般項は,$a_n=\fbox{ウ} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である.
(2) $k \neq 1$のとき,$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}-\frac{3}{k-1}$とおくと,数列$\{c_n\}$は初項$\fbox{エ}$,公比$\fbox{オ}$の等比数列となり,数列$\{a_n\}$の一般項は,$\displaystyle a_n=\frac{k-1}{3+\fbox{カ}} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である.
特に,$k=\fbox{キ}$のとき,すべての自然数$n$について$a_n$は一定の値である.
(1) $k=1$のとき,$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$とおくと,数列$\{b_n\}$は初項$\fbox{ア}$,公差$\fbox{イ}$の等差数列となり,数列$\{a_n\}$の一般項は,$a_n=\fbox{ウ} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である.
(2) $k \neq 1$のとき,$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}-\frac{3}{k-1}$とおくと,数列$\{c_n\}$は初項$\fbox{エ}$,公比$\fbox{オ}$の等比数列となり,数列$\{a_n\}$の一般項は,$\displaystyle a_n=\frac{k-1}{3+\fbox{カ}} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である.
特に,$k=\fbox{キ}$のとき,すべての自然数$n$について$a_n$は一定の値である.
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