早稲田大学
2010年 基幹理工・創造理工・先進理工 第4問
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$xyz$空間において，2点P$(1,\ 0,\ 1)$，Q$(-1,\ 1,\ 0)$を考える．線分PQを$x$軸の周りに1回転して得られる曲面を$S$とする．以下の問に答えよ．
(1) 曲面$S$と，2つの平面$x=1$および$x=-1$で囲まれる立体の体積を求めよ．
(2) (1)の立体の平面$y=0$による切り口を，平面$y=0$上において図示せよ．
(3) 定積分$\displaystyle \int_0^1 \sqrt{t^2+1}\, dt$の値を$\displaystyle t=\frac{e^s-e^{-s}}{2}$と置換することによって求めよ． これを用いて，(2)の切り口の面積を求めよ．
(1) 曲面$S$と，2つの平面$x=1$および$x=-1$で囲まれる立体の体積を求めよ．
(2) (1)の立体の平面$y=0$による切り口を，平面$y=0$上において図示せよ．
(3) 定積分$\displaystyle \int_0^1 \sqrt{t^2+1}\, dt$の値を$\displaystyle t=\frac{e^s-e^{-s}}{2}$と置換することによって求めよ． これを用いて，(2)の切り口の面積を求めよ．
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