早稲田大学
2010年 基幹理工・創造理工・先進理工 第2問
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$xy$平面上の点$(x_1,\ y_1)$に対して，点$(x_2,\ y_2)$，$(x_3,\ y_3)$，$\cdots$を次の式で順に定める．
\[ \left( \begin{array}{c}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{array} \right)=\left\{ \begin{array}{ll}
\left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x_{n} \\
y_{n}
\end{array} \right) & (y_n \geqq 0 \text{のとき}) \\
\left( \begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x_{n} \\
y_{n}
\end{array} \right) & (y_n<0 \text{のとき})
\end{array} \right. \]
以下の問に答えよ．
(1) $(x_1,\ y_1) = (-1,\ 2)$のとき，$(x_3,\ y_3)$を求めよ．
(2) $(x_1,\ y_1) = (1,\ 0)$のとき，$(x_5,\ y_5)$を求めよ．
(3) $x_1>0$かつ$y_1>0$のとき，$(x_4,\ y_4) = (x_1,\ y_1)$となることを示せ．
(4) $(x_n,\ y_n)=(x_1,\ y_1)$となる$2$以上の整数$n$が存在しないとき，点$(x_1,\ y_1)$はどのような範囲にあるかを図示せよ．
(1) $(x_1,\ y_1) = (-1,\ 2)$のとき，$(x_3,\ y_3)$を求めよ．
(2) $(x_1,\ y_1) = (1,\ 0)$のとき，$(x_5,\ y_5)$を求めよ．
(3) $x_1>0$かつ$y_1>0$のとき，$(x_4,\ y_4) = (x_1,\ y_1)$となることを示せ．
(4) $(x_n,\ y_n)=(x_1,\ y_1)$となる$2$以上の整数$n$が存在しないとき，点$(x_1,\ y_1)$はどのような範囲にあるかを図示せよ．
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