$a$を$0$でない実数とする．$2$つの異なる曲線 \[ C_1: y=x^2-2x+5,\quad C_2: y=ax^2+(1-3a)x+\frac{13}{8}\] は，ある共有点$\mathrm{P}$で共通な接線$\ell$をもつ．さらに，曲線$C_2$上の点$\mathrm{Q}$において$\ell$以外の接線を，$\ell$と点$\mathrm{R}$で直交するように引く．このとき$a$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}}$であり，共通接線$\ell$の方程式は$\fbox{チ}x-\fbox{ツ}y+\fbox{テ}=0$である．また，曲線$C_2$は$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$1:\fbox{ト}$に分ける．ただし，$\fbox{タ}$から$\fbox{ト}$はできる限り小さい自然数で答えること．