早稲田大学
2016年 基幹理工・創造理工・先進理工 第3問
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複素数$z$に対して
\[ f(z)=\alpha z+\beta \]
とする．ただし，$\alpha,\ \beta$は複素数の定数で$\alpha \neq 1$とする．
\[ f^1(z)=f(z),\quad f^n(z)=f(f^{n-1}(z)) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．次の問に答えよ．
(1) $f^n(z)$を$\alpha,\ \beta,\ z,\ n$を用いて表せ．
(2) $|\alpha|<1$のとき，すべての複素数$z$に対して \[ \lim_{n \to \infty} |f^n(z)-\delta|=0 \] が成り立つような複素数の定数$\delta$を求めよ．
(3) $|\alpha|=1$とする．複素数の列$\{f^n(z)\}$に少なくとも$3$つの異なる複素数が現れるとき，これらの$f^n(z) \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$は複素数平面内のある円$C_z$上にある．円$C_z$の中心と半径を求めよ．
(1) $f^n(z)$を$\alpha,\ \beta,\ z,\ n$を用いて表せ．
(2) $|\alpha|<1$のとき，すべての複素数$z$に対して \[ \lim_{n \to \infty} |f^n(z)-\delta|=0 \] が成り立つような複素数の定数$\delta$を求めよ．
(3) $|\alpha|=1$とする．複素数の列$\{f^n(z)\}$に少なくとも$3$つの異なる複素数が現れるとき，これらの$f^n(z) \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$は複素数平面内のある円$C_z$上にある．円$C_z$の中心と半径を求めよ．
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