早稲田大学
2016年 基幹理工・創造理工・先進理工 第1問
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![正の整数m,nに対してf(m,n)が次の等式を満たすように定められている．{\begin{array}{l}f(1,1)=1,f(2,2)=6,f(3,3)=20\f(m,n)=2f(m-1,n)(m≧2)\phantom{\frac{[]}{2}}\f(m,n)+3f(m,n-2)=3f(m,n-1)+f(m,n-3)(n≧4)\phantom{\frac{[]}{2}}\end{array}.次の問に答えよ．(1)f(m,1)およびf(1,n)をそれぞれm,nの式で表せ．(2)f(6,32)の値を求めよ．(3)任意の正の整数lに対して，f(m,n)=lを満たす正の整数m,nが存在することを示せ．](./thumb/304/14/2016_1.png)
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正の整数$m,\ n$に対して$f(m,\ n)$が次の等式を満たすように定められている．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f(1,\ 1)=1,\quad f(2,\ 2)=6,\quad f(3,\ 3)=20 \\
f(m,\ n)=2f(m-1,\ n) \quad (m \geqq 2) \phantom{\frac{\fbox{}}{2}} \\
f(m,\ n)+3f(m,\ n-2)=3f(m,\ n-1)+f(m,\ n-3) \quad (n \geqq 4) \phantom{\frac{\fbox{}}{2}}
\end{array} \right. \]
次の問に答えよ．
(1) $f(m,\ 1)$および$f(1,\ n)$をそれぞれ$m,\ n$の式で表せ．
(2) $f(6,\ 32)$の値を求めよ．
(3) 任意の正の整数$l$に対して，$f(m,\ n)=l$を満たす正の整数$m,\ n$が存在することを示せ．
(1) $f(m,\ 1)$および$f(1,\ n)$をそれぞれ$m,\ n$の式で表せ．
(2) $f(6,\ 32)$の値を求めよ．
(3) 任意の正の整数$l$に対して，$f(m,\ n)=l$を満たす正の整数$m,\ n$が存在することを示せ．
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コメント（1件）
2016-02-17 19:38:18
某予備校の解答はf(m,n)を直接予測して帰納法でしたが、そんな力技本番でできるか！と思いました（予測が難しく、予測するための計算も大変）。ので、漸化式の式変形でなんとかしました。こっちの変形も慣れてないと難しく、考え方によってはこっちの方が力技なのかもしれませんが。多分作問者はこっちの解答を想定していると思います。かなり力が必要です。 |
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