次の小問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．
(1) 実数$a,\ b$が$0 \leqq a \leqq \pi$，$a<b$をみたすとき， \[ I(a,b) = \int_a^b e^{-x}\sin x\;dx \] とおく．ただし，$e$は自然対数の底とする． \[ \lim_{b \to \infty} I(a,\ b) = 0 \] が成立するように$a$を定めよ．
(2) 行列$A= \begin{pmatrix} \;\;\; a & b \;\;\;\; \\ \;\;\; c & d \;\;\;\; \end{pmatrix} $は$ad-bc=2$および$a+d=3$をみたし，かつ，ある行列 \[ B = \begin{pmatrix} \;\;\; 1 & 1 \;\;\;\; \\ \;\;\; 0 & 1 \;\;\;\; \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \;\;\; \alpha & 0 \;\;\;\; \\ \;\;\; 0 & \beta \;\;\;\; \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \;\;\; 1 & 1 \;\;\;\; \\ \;\;\; 0 & 1 \;\;\;\; \end{pmatrix}^{-1} \] に対して$AB=BA$をみたしている．ただし$\alpha \neq \beta$とする．このような行列$A$をすべて求めよ．
(3) $c$を正の実数として，漸化式 \[ a_n = \frac{{a_{n-1}}^2}{3^n} \quad (n \geqq 1), \qquad a_0 = c \] で定義される数列$\{a_n\}$を考える．このとき$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$となるような$c$の範囲を求めよ．
(4) 実数$t$が$1 \leqq t \leqq 2$の範囲で動くとき，$xy$平面の直線 \[ y=(3t^2-4)x-2t^3 \] が通る範囲を$H$とする．$H$の内，直線$x=1$と$\displaystyle x=\frac{20}{9}$ではさまれる部分の面積を求めよ．