次の各問に答えよ．$(2)$は空欄にあてはまる数または式を記入せよ．
(1) 数列$\{a_n\}$が \[ a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で与えられている．このとき，和$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$を求めよ．また，$S_n$は \[ S_n-S_{n-1}=(1-2S_{n-1})(1-2S_n) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \] を満たすことを示せ．
(2) 数列$\{b_n\}$の和$T_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$が \[ (\ast) \quad T_n-T_{n-1}=(1-2T_{n-1})(1-2T_n) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \] を満たしている．もし，$\displaystyle T_1=\frac{1}{2}$ならば，$(\ast)$で$n=2$ととれば，$\displaystyle T_2=T_1=\frac{1}{2}$となる．同様に，$(\ast)$で$n=3,\ 4,\ \cdots$ととれば，$\displaystyle T_n=\frac{1}{2} \ \ (n=3,\ 4,\ \cdots)$となる．
いま，$\displaystyle T_n \neq \frac{1}{2} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$U_n=1-2T_n$とおくと，$U_n$は漸化式$\fbox{ア}$を満たす．よって，$\displaystyle \frac{1}{U_1}=c \ \ (\neq 0)$とおけば，$U_n$は$n$と$c$を用いて，$U_n=\fbox{イ}$と表せる．これより，$b_1=\fbox{ウ}$，$b_n=\fbox{エ}$が得られ，$b_n$が$(1)$の$a_n$と一致するのは$c=\fbox{オ}$のときである．