早稲田大学
2013年 基幹理工・創造理工・先進理工 第2問
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複素数$z=1+2 \sqrt{6} \, i$と自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$について，複素数$z^n$を実数$a_n,\ b_n$を用いて
\[ z^n=a_n+b_n i \]
と表す．次の問に答えよ．
(1) ${a_n}^2+{b_n}^2=5^{2n} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$であることを示せ．
(2) すべての$n$について$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$が成り立つ定数$p,\ q$を求めよ．
(3) どんな$n$についても$a_n$は$5$の整数倍でないことを示せ．
(4) $z^n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は実数でないことを示せ．
(1) ${a_n}^2+{b_n}^2=5^{2n} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$であることを示せ．
(2) すべての$n$について$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$が成り立つ定数$p,\ q$を求めよ．
(3) どんな$n$についても$a_n$は$5$の整数倍でないことを示せ．
(4) $z^n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は実数でないことを示せ．
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