平面上に長さ$1$のベクトル$\overrightarrow{n}$がある．また，$a$は$a>1$をみたす定数とする．平面上のベクトル$\overrightarrow{x}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{y}$を \[ \overrightarrow{y}=\overrightarrow{x}-a(\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n}) \overrightarrow{n} \] により定める．ただし，$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n}$はベクトルの内積を意味し，$a(\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n})$はその$a$倍の実数を表している．
(1) すべてのベクトル$\overrightarrow{x}$に対して$|\overrightarrow{x}|=|\overrightarrow{y}|$が成り立つための必要十分条件は，$a=2$であることを示せ．
(2) $\overrightarrow{x} \neq \overrightarrow{\mathrm{0}}$とする．$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\theta$とし，$\overrightarrow{y}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\phi$とする．このとき，$a$と$\cos \theta$を用いて$\cos \phi$を表せ．